Correnti rapide in moto stazionario

Questa monografia tratta delle correnti rapide, o supercritiche, descritte sulla base di un approccio teorico bidimensionale; è questo uno degli argomenti affrontati nel Corso di Idrodinamica dell’Università di Padova (Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile). La conoscenza teorica del comportamento di una corrente rapida in ipotesi di moto bidimensionale è utile sia per interpretare correttamente le soluzioni numeriche, a cui ormai ci si affida sempre più spesso, o gli esiti della modellazione fisica, sia, soprattutto, per immaginare possibili soluzioni progettuali agli eventuali problemi pratici; gli approcci semplificati e le soluzioni analitiche raccolti in questi appunti hanno sostanzialmente questo scopo.

Nella prima parte sono descritti i possibili approcci teorici per l’inquadramento del comportamento di una corrente rapida, mentre nella seconda parte, particolarmente estesa, sono illustrate le più tipiche situazioni che si possono incontrare nella pratica e per ognuna di queste è mostrato come sia possibile procedere alla soluzione teorica utilizzando gli strumenti descritti nella prima parte. Spesso, la soluzione teorica è poi confrontata con quella numerica, determinata mediante l’impiego della modellistica bidimensionale e/o con i risultati di indagini sperimentali, in modo da evidenziare validità e limiti delle trattazioni teoriche presentate.

Nel caso di correnti rapide, come si vedrà, la trattazione unidimensionale è spesso insoddisfacente in quanto il moto che si sviluppa in un canale, soprattutto in prossimità di variazioni geometriche o di portata, mostra frequentemente caratteri almeno bidimensionali.

Ormai, come è noto, la modellazione matematico-numerica consente di risolvere agevolmente la maggior parte dei problemi che ricadono nell’ambito della dinamica delle correnti a superficie libera. Per le correnti rapide, spesso, l’approccio bidimensionale a cui si fa riferimento in questi appunti, non è sufficientemente accurato dal punto di vista quantitativo ed è opportuno utilizzare, in alternativa alla modellazione fisica, modelli numerici 3D, meglio se basati su un approccio di tipo Iagrangiano, come ad esempio i metodi Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) o, meglio ancora, per le correnti rapide in presenza di onde di shock, i metodi Godunov-type Particle Hydrodynamics (GPH).

Un modello standard per la dinamica dei fluidi risale al XVIII secolo con i lavori di Leonhard Euler e di Daniel Bernoulli. Esso formula le leggi fisiche del flusso di un fluido come un’equazione differenziale alle derivate parziali che descrive come la velocità del fluido cambia nel tempo in ogni punto spazio in risposta alle forze che agiscono. Tranne casi molto semplici, non è possibile trovare formule che risolvono l’equazione, ma sono stati ideati metodi di calcolo molto accurati. Un problema importante è la natura del modello che, in linea di principio, ci impone di studiare la velocità del fluido in ogni punto in qualche regione di spazio. Tuttavia, i computer non possono fare un numero infinito di calcoli; pertanto «discretizzano» l’equazione, ovverosia l’approssimano con un’equazione a lei correlata ma che coinvolge solo un numero finito di punti.

Il metodo più semplice consiste nell’utilizzare i punti di una griglia come un campione rappresentativo di tutto il fluido e nel tener di conto di come la velocità si modifichi nei punti della griglia. Questa approssimazione è buona se la griglia è abbastanza fitta.

Purtroppo questo approccio non funziona un granché per gocce in collisione, perché il campo delle velocità diventa discontinuo quando le gocce si rompono. Viene in soccorso un’astuta variante del metodo della griglia che funziona anche quando le goccioline si frammentano o si uniscono. Questo metodo, chiamato Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH, letteralmente «idrodinamica delle particelle levigate») divide il fluido in «particelle» confinanti, di fatto tante piccole regioni.

Ma invece di utilizzare una griglia fissa, si seguono le particelle nelle loro risposte alle forze in gioco. Se particelle vicine si muovono con la stessa velocità e direzione, esse fanno parte della stessa gocciolina e continueranno a rimanere in quella goccia. Ma se particelle confinanti puntano in direzioni radicalmente diverse, o hanno velocità notevolmente diverse, allora la goccia si sta frammentando.


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